Question

已知圆C的圆心在直线y=-2x上，并且经过点A（2,-1），与直线x+y=1相切。

求圆C的方程
已知点B（-1,-1）,E（1,1）,F（0,6），点P在圆上，求|PB|^2+|PE|^2+|PF|^2的最大值和最小值

Answer 1

点 A(2,-1) 在已知直线 x+y=1，圆C 过 A 且与该已知直线相切，那么 A 就是切点；
过 A 作已知直线的垂线，则圆C在此直线上：y+1=x-2；
两直线方程联立解得圆心C 坐标 x=1，y=-2；圆半径 R²=AC²=(2-1)²+(-1+2)²=2；
圆C 的方程：(x-1)²+(y+2)²=2；
设 P(x,y) 在圆 C 上，则 f(x,y)=|PB|²+|PE|²+|PF|²=(x+1)²+(y+1)²+(x-1)²+(y-1)²+x²+(y-6)²；
整理 f(x,y)=3(x-1)²+6x+3(y+2)²-24y+25=6x-24y+31；
当直线 f(x,y)=m （斜率 k=1/4）与圆 C 相切时，可得到 f(x,y) 的最大和最小值；
对圆 C 两边求导：2(x-1)+2(y+2)*y'=0，∴ 切点 y'=(1-x)/(y+2)=1/4，代入圆C方程可解得：
(x-1)²+[4(1-x)]²=2，x=1±√(2/17)，y=-2+4(1-x)=-2-[±4√(2/17)]；
f(x,y)=6x-24y+31=6*[1±√(2/17)]-24*[-2-±4√(2/17)]+31=85±102√(2/17)=85±6√34；

Answer 2

因为圆心在直线 y= -2x 上，因此设圆心坐标为（a，-2a），设半径为 r ，
则 (a-2)^2+(-2a+1)^2=r^2=(a-2a-1)^2/2 ，
解得 a=1 ，r^2=2 ，
所以圆 C 的方程为 (x-1)^2+(y+2)^2=2 。

设 P（x，y），
则 |PB|^2+|PE|^2+|PF|^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(x-0)^2+(y-6)^2
=3x^2+3y^2-12y+40
=3[x^2+(y-2)^2]+28 ，
这里，x^2+(y-2)^2 表示圆上的点到点 Q（0，2）的距离的平方，
由于 C（1，-2），因此 |CQ|=√[(1-0)^2+(-2-2)^2]=√17 ，
所以，所求最小值为 3(|CQ|-r)^2+8=3(√17-√2)^2+28=85-6√34 ，
最大值为 3(|CQ|+r)^2+8=3(√17+√2)^2+28=85+6√34 。

Answer 3

（1）因为A在直线x+y=1上，圆C与直线x+y=1相切，
所以点A为切点，所以AC垂直于直线x+y=1
所以AC:y=x-3，所以C（-3，-6），AC=5√2
圆C方程;（x+3）²+（y+6）²=50
（2）设P（5√2cost-3,5√2sint-6），则
|PB|²+|PE|²+|PF|²=（5√2cost-2）²+（5√2sint-5）²+（5√2cost-4）²+（5√2sint-7）²+（5√2cost-3）²+（5√2sint-12）²=-30√2（8sint+3cost）+397=-30√146sin（t+φ）+397
所以最大值为397+30√146，最小值为397-30√146

Answer 4

1，圆C方程；点A就在x+y=1上，则过A点且与x+y=1垂直的直线l过圆心，l与y=-2x的交点即为圆心。算得l方程为；y=x-3,与y=-2x联立得出，x=1,y=-2.再算半径，点到直线距离得出R=根号2.圆方程为（x-1）+（y+2）=2.