Question

第18题怎么做

Answer 1

两边求导：
设∫f(x)dx=F(x),F'(x)=f(x)
F(xy)-F(1)=y(F(x)-F(1))+x(F(y)-F(1))
F(xy)-F(1)=yF(x)-yF(1)+xF(y)-xF(1)
F(xy)-xF(y)-yF(x)=F(1)(1-x-y)

对于任意x>0,y>0恒成立。
对于y=x，x>0，也成立：
F(x²）-F(1)=2xF(x)-2xF(1)
求导f(x²）.2x=2F(x)+2xf(x)-2F(1)
xf(x²）=F(x)+xf(x)
F(x)=x[f(x²）-f(x)]
再求导一次：
f(x²）+xf'(x²）.2x=f(x)+f(x)+xf'(x)
f（x²）-2f(x)=xf'(x)-2x²f'(x²）
f(x²）+2x²f'(x²）=2f(x)+xf'(x)
x=1:

f(1)-2f(1)=f'(1)-2f'(1)
-f(1)=-f'(1)
f(1)=f'(1)

追答

F（xy）=xF（y）十yF（x）十F（1）（1-x-y）
两边求x偏导数
f（xy）y=F（y）十yf（x）-F（1）
再对y求偏导数
f（xy）十yf'（xy）x=f（y）十f（x）
令y=1
f（x）十xf'（x）=f（1）十f（x）
f'（x）=f（1）/x
两边积分
f（x）=f（1）lnx十C1
令x=1
f（1）=C1
f（x）=f（1）（lnx十1）
F（x）=f（1）∫ （lnx十1）dx
=f（1）[xlnx-∫x×1/xdx十x十C2]
=f（1）[xlnx十C2]

F（1）=f（1）C2
F（xy）=f（1）[xyln（xy）十C2]
F（y）=f（1）（ylny十C2）
代入原式
f（1）[xyln（xy）十C2]=x f（1）（ylny十C2）十y f（1）（xlnx十C2）十F
f（1）C2（1-x-y）
xyln（xy）十C2=x ylny十xC2）十y xlnx十yC2十
C2（1-x-y）
xyln(xy)=xy（lnx十lny）
正确

f(1)=常数C
f(x)=C(lnx十1)

Answer 2

设F'(t)=f(t)则
F(xy)-F(1)=y(F(x)-F(1))+x(F(x)-F(1))
两边对x求导得
yf(xy)=yf(x)+F(y)-F(1)
再对y求导
f(x)+f(y)=f(xy)+xyf'(xy)
根据式子分析，对数函数会符合两自变量相加，值却相乘loga+logb=log(ab),
f(x)=lnx+1
说实话有点凑得成分，题目做多了确实会看出来得