Question

极限例题不明白，数学全书

红线部分，“易知”，结果我不知道怎么得到的，也无法“易知”
蓝线部分，做这一步到底是在干什么
为什么没有先证明极限存在，就假设存在了，然后就开始算了。（一般的步骤都是证明 单调且有界，然后才开始进行后续的计算的）

Answer 1

红线：因为f(x)是减函数，故而x越大，f（x）越小，由

可知x（n）>=2

 

x(n+1)=2+1/x(n) <=2+0.5=2.5

Answer 2

红线“易知”部分：由归纳法知：因为x[1]=2>0，所以x[n]>=2
所以x[n+1]=2+1/x[n]<=2+1/2=5/2，即x[n]<=5/2
所以2<=x[n]<=5/2

蓝线部分：逻辑是这样的：先假设极限存在，算出那个唯一能当做极限的数a，然后证明a的确是极限。（前面也说了{x[n]}没有单调性，所以不能用单调有界。）蓝线部分就是估计|x[n]-a|，由于|x[n+1]-a|<|x[n]-a|/4，所以|x[n]-a|<|x[1]-a|/4^(n-1)，由此可以看出|x[n]-a|可以任意小，即a为{x[n]}的极限。

Answer 3

因为X1=2，所以Xn一定是大于2的，也就是1/X<1/2；因为X=2+1/X所以x<5/2
也可以先假设存在在验证的，这个题前面已经证明单调，也给了X的取值范围说明有界了

Answer 4

xn>0 xn+1=2+1/xn>2, 所以 xn>=2, 又有 xn+1=2+1/xn<=2+1/2=5/2;所以2<=xn<=5/2