Question

数列问题！求解！！急急急急！！

数列{an}的首项a1=2/3, a(n+1)=2a(n)/a(n)+1 n=正整数（1）证明{1/a(n) -1}是等比数列（2）求{n/a(n)}的前n项和Sn
要过程！！不要太乱的。。。

Answer 1

1
a(n+1)=(2an)/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/2an=(1/2)*(1+1/an)
1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)
所以｛1/an-1}为等比数列！

2
｛(1/an)-1}为等比数列！
首项为1/a1-1=1/2 公比为1/2
所以：1/an-1=1/2*(1/2)^(n-1)=1/2^n
1/an=1+1/2^n

bn=n/an=n*(1/an)=n*(1+1/2^n)=n+n/2^n
Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n
=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n

其中：1+2+...+n=n*(n+1)/2
S=1/2+2/2^2+..+n/2^n
S/2=1/2^2+.....+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
相减：S/2=1/2+1/2^2+......+1/2^n-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
S=2-1/2^(n-1)-n/2^n
所以：Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n
=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n
=n*(n+1)/2+2-1/2^(n-1)-n/2^n
这是我在静心思考后得出的结论，
如果能帮助到您，希望您不吝赐我一采纳~（满意回答）
如果不能请追问，我会尽全力帮您解决的~
答题不易，如果您有所不满愿意，请谅解~

追问

1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)
所以｛1/an-1}为等比数列！
这一步怎么得出来｛1/an-1}为等比数列的？

追答

假如bn=1/an-1,那么，b(n+1)=1/a(n+1)-1
∵ 1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)
∴b(n+1)=1/2bn
这样懂了吗？将（1/an）-1看做一个整体

Answer 2

用公式打要花点时间，不知道你等不等的急。

追问

还有第二问。这样看起来不是那么乱了。等我弄懂了就采纳你了。问一下倒数第二步怎么得到等比数列的？

追答