Question

已知函数f(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（-1，0），

已知函数f(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（-1，0），x2∈(0,1),则（a+2b+4)/(a+2)的取值范围是

Answer 1

f(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c

f'(x)=x²+ax+b

∵在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，

满足x1∈（-1，0），x2∈(0,1),

∴f'(x)的零点x1∈（-1，0），x2∈(0,1),

f'(x)图像为开口朝上的抛物线

∴

｛f'(-1)=-a+b+1>0即a-b-1<0

 {f'(0)=b<0

 {f'(1)=a+b+1>0

满足条件的点P(a,b)构成的平面区域为

三角形ABC内部，不含边界

目标函数

z=(a+2b+4)/(a+2)

  =[(a+2)+2(b+1)]/(a+2)

  =1+2(b+1)/(a+2）

令Q(-2,-1)

则直线PQ的斜率kPQ=(b+1)(a+2)

kPQ的范围是（0，1）

∴0<2(b+1)/(a+2)<2

∴1<z<3

则（a+2b+4)/(a+2)的取值范围是(1,3)