Question

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x）+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,求证：

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x）+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,求证：f(x)是R上的减函数。

Answer 1

（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令x=-y，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0
∴对于任意x，都有f（-x）=-f（x）∴f（x）是奇函数．
（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1）
又f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）（2）
由（1）（2）得f（x1）＞f（x2），
根据函数单调性的定义知f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

Answer 2

证明：

在R上任取x1,x2,
设x1<x2
∵ f(x)+f(y)=f(x+y)
令x=x1, x+y=x2,则y=x2-x1
∴ f(x1)+f(x2-x1)=f(x2)
即 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵ x2-x1>0,∴ f(x2-x1)<0
∴ f(x2)-f(x1)<0
即 f(x2)<f(x1)
∵ x1<x2时，f(x2)<f(x1)
∴ f(x)是R上的减函数。