Question

积分、微分、导数、极限和偏导的几何意义 还有他们之间的联系与区别 麻烦知道的说下 越详细越好

Answer 1

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述：
可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；
可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。

dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性

dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx

这就是可导、可微之间的关系：
可导 = 可微 = Differentiable。
导数 = 微分 = Differentiation，Derivative
不可导 = 不可微 = Undifferentiable

【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】

2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念，
有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。
【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】
多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念

一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。

3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数，
a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。
b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。
c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯
这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。

一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。

4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(�6�8f/�6�8x)dx + (�6�8f/�6�8y)dy时，
du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。
而�6�8f、�6�8x、�6�8y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。

x的单独变化会引起u的变化，du=(�6�8f/�6�8x)dx
y的单独变化会引起u的变化，du=(�6�8f/�6�8y)dy
其中的 �6�8f/�6�8x、�6�8f/�6�8y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。
�6�8f/�6�8x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；
�6�8f/�6�8y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。

x、y同时变化，引起u的变化是：
du=(�6�8f/�6�8x)dx + (�6�8f/�6�8y)dy
这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。

总而言之，言而总之：
对一元函数，可导与可微没有本质区别；
对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

Answer 2

积分是一种化整为0 积0为整的 和式极限微分是一种近似过程导数是一种变化率极限是一种趋向过程