Question

设A是n阶实对称矩阵，证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵，则A^2也是正定矩阵

Answer 1

(1) 设λ是A在复数域内的一个特征值, X是属于λ的特征向量(未必是实向量), 即有AX = λX.
用B*表示B的复共轭的转置, 由A是实对称矩阵, 有A* = A.
考虑1×1矩阵X*AX, 可知(X*AX)* = X*A*(X*)* = X*AX, 即X*AX唯一的矩阵元是实数.
由AX = λX, 有X*AX = λX*X, 而X*X是以X的元素的绝对值的平方和为元素的1×1实矩阵。
且由X ≠ 0, 有X*X ≠ 0. λ与非零实数相乘得实数, 即λ为实数.

(2) 首先由A是实对称矩阵, 易知A²也是实对称矩阵.
对任意实向量X, 用X'表示X的转置, 则有X'A²X = (AX)'(AX) = ||AX||².
其中||AX||表示向量AX的模长(各元素的平方和的算术平方根).
于是X'A²X ≥ 0, 且等号成立当且仅当AX = 0.
而A是正定矩阵, 所以也是可逆的, 即AX = 0只有零解.
即得X'A²X ≥ 0对任意实向量X成立, 且等号成立当且仅当X = 0.
故A²为正定矩阵.