Question

高二数学题，求解答。

Answer 1

　　解：(1)，∵e=c/a，∴c^2=(1/2)a^2。又，F(c,0)，PF的斜率k=2/c=2，∴c=1。∴a^2=2，b^2=a^2-c^2=1。∴E的方程为(1/2)x^2+y^2=1。
　　(2)，设l的方程为y=kx+m【计算过程中，记D=√(1+k^2)】。联立l与圆O的方程、消去y，有(Dx)^2+2kmx+m^2-3=0。∵有弦长3存在，∴其判别式△=(2km)^2-4(D^2)(m^2-3)>0，∴m^2>3D^2①。设其有两个根x1、x2，由韦达定理，有x1+x2=-2km/D^2、x1x2=(m^2-3)/D^2，∴由弦长计算公式，有3=D丨x1-x2丨，∴m^2=(3/4)D^2=3(k^2+1)/4②。
　　同理，联立l与E的方程，可得丨AB丨=[(2√2)D/(2k^2+1)]√(2k^2+1-m^2)。
　　而，点O到l的距离d=丨m丨/D，∴S△OAB=(1/2)丨AB丨d=[(√2)丨m丨/(2k^2+1)]√(2k^2+1-m^2)。将②代入，有S=[S△OAB]^2=(3/8)(k^2+1)(5k^2+1)/(2k^2+1)^2。由S对k求导，可得其极值点k=0、k=±1。经验证，k=±1(亦满足①的条件)时，S△OAB的最大值为(1/2)√2。
　　供参考。