高数 第五题 不用写全部过程 只有1/1+ex积分不会积 谁能讲一下
1个回答
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有好几种解法
1、第一类换元法
∫1/(1+e^x)dx=∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx=-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))=-ln(1+e^(-x))+C=-ln((1+e^x)/e^x)+C=x-ln(1+e^x)+C
或
∫1/(1+e^x)dx=∫ [1 - e^x/(1+e^x))dx=x-∫1/(1+e^x)d(1+e^x)=x-ln(1+e^x)+C
2、第二类换元法
令t=e^x,则x=lnt,dx=dt/t
∫1/(1+e^x)dx=∫1/(t(1+t))dt=∫ (1/t-1/(t+1))dt=ln|t| - ln|1+t|+C=x-ln(1+e^x)+C
不过你题目里应该是(x-1),方法差不多
1、第一类换元法
∫1/(1+e^x)dx=∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx=-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))=-ln(1+e^(-x))+C=-ln((1+e^x)/e^x)+C=x-ln(1+e^x)+C
或
∫1/(1+e^x)dx=∫ [1 - e^x/(1+e^x))dx=x-∫1/(1+e^x)d(1+e^x)=x-ln(1+e^x)+C
2、第二类换元法
令t=e^x,则x=lnt,dx=dt/t
∫1/(1+e^x)dx=∫1/(t(1+t))dt=∫ (1/t-1/(t+1))dt=ln|t| - ln|1+t|+C=x-ln(1+e^x)+C
不过你题目里应该是(x-1),方法差不多
更多追问追答
追问
嗯我还有个问题 就是代换下来用t=x-1,那个式子应该是1/1+et+1吗?我看有的答案直接用1/1+et了可以吗
追答
我的做法是这样的
当x-1≥0时(x≥1),f(x-1)=1/1+x-1=1/x
当x-1<0(x<1)时,
f(x-1)=1/(1+e^x-1)
所以积分分段,0到1用后面的那个式子,1到2用前面那个式子
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