f(x)在[0，1]上连续且f(x)单调递减α∈(0，1)证明α∫(0，1)f(x)dx≤∫(0)
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证明：
由积分中值定理，存在ξ∈[0，α]，使：
∫
α
0
f(x)dx＝αf(ξ)；存在η∈[α，1]，使：
∫
1
α
f(x)dx＝f(η)(1−α)，
因为：η≥α≥ξ，所以：f（η）≤f（ξ），
则：
α
∫
1
0
f(x)dx＝α
∫
α
0
f(x)dx+α
∫
1
α
f(x)dx＝α2f(ξ)+αf(η)(1−α)≤α2f(ξ)+αf(ξ)(1−α)＝αf(ξ)＝
∫
α
0
f(x)dx．
由积分中值定理，存在ξ∈[0，α]，使：
∫
α
0
f(x)dx＝αf(ξ)；存在η∈[α，1]，使：
∫
1
α
f(x)dx＝f(η)(1−α)，
因为：η≥α≥ξ，所以：f（η）≤f（ξ），
则：
α
∫
1
0
f(x)dx＝α
∫
α
0
f(x)dx+α
∫
1
α
f(x)dx＝α2f(ξ)+αf(η)(1−α)≤α2f(ξ)+αf(ξ)(1−α)＝αf(ξ)＝
∫
α
0
f(x)dx．
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