Question

这道题怎么解，据说答案是不存在，不是1，为什么

Answer 1

因为在x=0的任何一个去心邻域内，都有无数个点，使得sin（1/x）=0
从而使得分母为0，使得这个函数无意义。
所以无法找到一个x=0的去心邻域，使得这个去心邻域内，函数恒有定义。
所以根据极限的定义，这个函数在x=0点无极限。
函数的极限定义要求，在求极限点的某个去心邻域内，要恒有定义。

追问

那那个重要极限lim sinx/x x趋于0怎么解释. 1/x在x=0处也没有定义啊

而且，为什么不能理解为一个无穷小与有界量的乘机为无穷小呢

追答

注意，我不是说在x=0点处无定义，这是没关系的。
是说在x=0的点的去心邻域内，总是有点无定义。
比方说sinx/x，这个函数，虽然在x=0点无定义。
但是在x=0点的去心邻域内，比方说在（-3,0）∪（0,3）这个去心邻域内，恒有定义，没有无定义的点。
所以sinx/x在x=0点可以求极限。
但是sin（xsin（1/x））/xsin（1/x）这个函数不仅仅是在x=0点无定义。
而且在x=0的任何一个去心邻域内，都有无定义的点。
比方说在（-3,0）∪（0,3）这个去心邻域内，有x使得sin（1/x）=0，函数无定义
在（-0.001,0）∪（0,0.001）这个去心邻域内，也有x使得sin（1/x）=0，函数无定义
不管这个邻域取得多么的小，在这个去心邻域内，都有x使得sin（1/x）=0，函数无定义。
所以不象sinx/x那样，有个类似于（-3,0）∪（0,3）这个去心邻域内，恒有定义，没有无定义的点。
所以sinx/x在x=0点有极限，而sin（xsin（1/x））/xsin（1/x）在x=0点无限极。

注意，极限的最高准则，就是极限的定义，不符合极限的定义的情况下，不管你用任何技巧计算，结果都不正确。极限的定义要求，在求极限的点x0的某个去心邻域（去心邻域是不包含x0这个点的，所以x0点无定义是无所谓的）内恒有定义。这是求极限的前提。不满足这个前提，就没有极限。

Answer 2

因为xsin1/x在X-0的时候极限为0，分母为0，极限不存在