Question

求不定积分cosx/sinx^3,求详细过程!

求不定积分cosx/sinx^3,求详细过程!下面怎么算?

Answer 1

∫[cosx/(sinx)^3]dx
=∫[1/(sinx)^3)]d(sinx)
=∫(sinx)^(-3)d(sinx)
=[1/(-3+1)]×(sinx)^(-3+1)+C
=(-1/2)×(sinx)^(-2)+C(其中C为任意常数）
所以cosx/(sinx)^3的不定积分之间只相差一个常数C,如果出现不同结果就一定能通过恒等变换相互得到,否则其中就有错的,或者两个都是错的

追问

没理解-3+1为什么?

Answer 2

方法一：首先想到

∫ sinx/(cosx)^3 dx

=∫ tanx*(secx)^2 dx

=∫ tanx d(tanx)

=1/2(tanx)^2+C

注：（tanx）‘=(secx)^2 

方法二：普遍的答案

∫ sinx/(cosx)^3 dx

= -∫ (cosx)^(-3)d(cosx) 

= 1/2(cosx)^(-2)+C

= 1/[2(cosx)^2]+C

两者之差在C ya