Question

求此题第三小问的详答

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Answer 1

(3)
容易看出，不管D位置如何，△DHF总相似(因为两个内角不变)。那么△DHF面积最大，只需DH最大即可。
AB的方程为x/4 + y/2 = 1, y = -x/2 + 2
想象将AB向右上方平移，直至与抛物线相切，切点即为D。令此时的切线为y = -x/2 + x, 与抛物线联立得x² - 4x + 4c - 8 = 0, 其判别式=16 - 4(4c-8) = 0, c = 3
此时二次方程变为x² - 4x + 4 = (x - 2)² = 0, D(2, 2)
AC的斜率为= (2 - 0)/[0 - (-2)] = 1, DH的斜率为1, 方程为y-2= x - 2, y = x
与AB联立得H(4/3, 4/3)

(1)
如果DH为对角线，则其中点P也是MN的中点，设N(n, 2 - n/2)和M(m, m'), 可得m和m'(均用n表示), 代入抛物线，得到n = 4/3, N与H的坐标相同，舍去。

(2)
DH为一条边。DH为y = x, 其纵坐标之差和横坐标之差相同(=2/3)
令N(n, 2 - n/2), M(n + 2/3, 2 - n/2 + 2/3), 即M(n + 2/3, 8/3 - n/2)
M在抛物线上：8/3 - n/2 = (-1/4)(n + 2/3 - 4)(n + 2/3 + 2)
n²/4 - 2n/3 + 4/9 = (n/2 - 2/3)² = 0, n = 4/3, 与H相同，舍去。

另一种可能是M(n - 2/3, 2 - n/2 - 2/3), 即M(n - 2/3, 4/3 - n/2)
M在抛物线上：4/3 - n/2 = (-1/4)(n - 2/3 - 4)(n - 2/3 + 2)
n²/4 - 4n/3 -2/9 = 0, n = 8/3 ± 2√2
M的横坐标为m = 2 ± 2√2