Question

"线形递推数列的特征方程是 x^2=x+1"是什么意思啊?

什么是特征方程?

Answer 1

假如有递推数列
Xn+1=aXn+bXn-1.
在方程两边同时减去yXn,得
Xn+1-yXn=(a-y)Xn-Xn-1＝（a-y)(Xn+b/(a-y))
我们选择合适的y,令Yn=Xn+1-yXn成为等比数列。这时y只要满足条件
－y=b/(a-y)
即yy-ay-b=0，解开这个方程，就可以得到可用的y.
设上述方程有两不等根c,d,
令Yn=Xn-cXn-1,Zn=Xn-dXn-1，分别是以a-c和a-d为公比的等比数列。这样可以求得Yn及Zn ，这样Xn＝（dYn-cZn)/(d-c).

比较一下上面r 方程与给出的递推数列的方程，发现这个方程相当于把数列中的数列项换成未知数.由于这个关系，人们把这个方程叫作递推数列的特征方程。