Question

11题的过程，谢谢🙏

Answer 1

过定点A(0，1)且斜率为k的直线L与园C: (x-2)²+(y-3)²=1角于M、N两点，①。求k的取值范围；②。若向量OM•ON=12，求∣MN∣;
解：①。设L的方程为 y=kx+1；代入园的方程得：(x-2)²+(kx-2)²=1；
展开化简得：(1+k²)x²-4(1+k)x+7=0...............①
因为有两个交点，因此①的判别式∆:
∆=16(1+k)²-28(1+k²)=16(1+2k+k²)-28-28k²=-12k²+32k-12=-4(3k²-8k+3)>0
即3k²-8k+3<0，由此得 k的取值范围为：(4-√7)/3<k<(4+√7)/3;
②.设M(x₁，y₁)；N(x₂，y₂)；则由①可知：x₁+x₂=4(1+k)/(1+k²)；x₁x₂=7/(1+k²);
y₁y₂=k(x₁+x₂)+2=4k(1+k)/(1+k²)+2=(6k²+4k+2)/(1+k²);
OM•ON=x₁x₂+y₁y₂=7/(1+k²)+(6k²+4k+2)/(1+k²)=(6k²+4k+9)/(1+k²)=12
故6k²+4k+9=12+12k²，即有6k²-4k+3=0，∵∆=16-72=-56<0，无解。
【原题有错！第二问无解！】【是不是AM•AN=12 ????】