Question

高等数学 泰勒公式

高等数学 泰勒公式不懂为什么要加上唯一性定理，不是直接f(n)(0)就可以得出4n!了吗，为什么要加上唯一性定理

Answer 1

不明白你所说的直接f(n)(0)就可以得出4n!是什么意思。
这道题的意思是前面已求出x趋于0时limf(x)/x^n=4，利用此关系就有f(x)/x^n=4+o(1)，得到f(x)=4x^n+o(x^n)。而f(x)在x=0处的n阶泰勒公式为f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(0)/2!*x^2+...+f'(n)(0)/n!*x^n+o(x^n)，正是由于泰勒公式的唯一性，前面得出的f(x)=4x^n+o(x^n)就是f(x)在x=0处的泰勒公式，将两式中次数相同的项进行比较，就可以得出前n-1阶导数都等于0，且f(n)(0)/n!=4。从而f(n)(0)=4n!