Question

高数A微分中值定理，这三道题怎么做？

Answer 1

四、根据拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a,b)，使得f'(ξ1)=[f(a)-f(b)]/(a-b)
令g(x)=x^2，根据柯西中值定理，存在ξ2∈(a,b)，使得f'(ξ2)/g'(ξ2)=[f(a)-f(b)]/[g(a)-g(b)]
f'(ξ2)/2ξ2=[f(a)-f(b)]/(a^2-b^2)=[f(a)-f(b)]/(a-b)(a+b)=f'(ξ1)/(a+b)
所以f'(ξ1)=[f'(ξ2)/2ξ2]*(a+b)
五、根据泰勒公式，有
e^x-1-x=(1/2)*x^2+o(x^2)
√(1-x)=1-x/2-(1/8)*x^2+o(x^2)
cos(√x)=1-(1/2)*(√x)^2+(1/24)*(√x)^4+o(x^2)=1-x/2+(1/24)*x^2+o(x^2)
所以√(1-x)-cos(√x)=1-x/2-(1/8)*x^2+o(x^2)-1+x/2-(1/24)*x^2+o(x^2)
=-(1/6)*x^2+o(x^2)
原式=lim(x->0+) [(1/2)*x^2+o(x^2)]/[-(1/6)*x^2+o(x^2)]
=lim(x->0+) [(1/2)+o(x^2)/x^2]/[-(1/6)+o(x^2)/x^2]
=(1/2)/(-1/6)
=-3
六、将f(x)分别在x=a和x=b点处泰勒展开
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(ξ1)/2]*(x-a)^2=f(a)+[f''(ξ1)/2]*(x-a)^2，其中ξ1∈(a,x)
f(x)=f(b)+f'(b)(x-b)+[f''(ξ2)/2]*(x-b)^2=f(b)+[f''(ξ2)/2]*(x-b)^2，其中ξ2∈(x,b)
将x=(a+b)/2代入，得：
f[(a+b)/2]=f(a)+[f''(ξ1)/8]*(b-a)^2
f[(a+b)/2]=f(b)+[f''(ξ2)/8]*(a-b)^2
其中a<ξ1<(a+b)/2<ξ2<b
两式相减，得：f(b)-f(a)+[(b-a)^2]/8*[f''(ξ2)-f''(ξ1)]=0
f''(ξ1)-f''(ξ2)=8[f(b)-f(a)]/(b-a)^2
8|f(b)-f(a)|/(b-a)^2=|f''(ξ1)-f''(ξ2)|<=|f''(ξ1)|+|f''(ξ2)|
令ξ∈(a,b)，满足|f''(ξ)|=max{|f''(ξ1)|,|f''(ξ2)|}
则8|f(b)-f(a)|/(b-a)^2<=2|f''(ξ)|
|f''(ξ)|>=4|f(b)-f(a)|/(b-a)^2