Question

超难哦高等数学求解

Answer 1

(1)
设F(x)=∫(x,b) f(t)dt
则F(a)=∫(a,b) f(t)dt=0
F(b)=∫(b,b) f(t)dt=0
根据罗尔定理，可知
存在一点c∈(a,b)
使得F'(c)=0
F'(x)=f(x)
所以F'(c)=f(c)=0
(2)
设g(x)=e^x f(x)
利用(1)求出的结论f(c)=0，结合已知条件f(a)=f(b)=0
则
g(a)=g(b)=g(c)=0
又因为c∈(a,b)之间
根据罗尔定理，
存在一点ξ1∈(a,c)
使得g'(ξ1)=0
g'(x)=e^x f(x)+ e^x f'(x)
所以g'(ξ1)=0→f(ξ1)+f'(ξ1)=0
同理，
存在一点ξ2∈(c,b)
使得g'(ξ2)=0→f(ξ2)+f'(ξ2)=0
ξ1，ξ2均∈(a,b)
故命题成立