Question

一阶微分方程的求解

yy'=ay+bx+c

Answer 1

y = 0 时，不是微分方程。
y ≠ 0 时，是准齐次方程 dy/dx = (ay+bx+c)/y
作变量替换 x = u - c/b , 则 dy/dx = (dy/du)(du/dx) = dy/du
微分方程化为 dy/du = (ay+bu)/y = a+b/(y/u)
令 y = uv， 则微分方程化为 v + udv/du = a + b/v
udv/du = (b+av-v^2)/v, vdv/(b+av-v^2) = du/u,
右边积分是 ln|u| + lnC
左边积分 I = ∫vdv/(b+av-v^2) = (-1/2)∫(-2v+a-a)dv/(b+av-v^2)
= (-1/2)∫d(b+av-v^2)/(b+av-v^2) + (a/2)∫dv/(b+av-v^2)，
要根据 a^2+4b > 0, = 0， < 0 讨论。
给出具体的 a， b 才方便解出。