Question

∫1/√(x²－a²)的原函数令x＝asint或x＝acost 两者算出来不一样，看图。

Answer 1

都正确，表面上不同，实际上两个结果只相差一个常数
因为arcsinx+arccosx=π/2

追问

怎么对了，返回去求导就相差一个负数

arccosx/a＝π/2－arcsinx/a 这样求导就相差一个负号了

追答

第二种方法中t的范围不对，应该是t∈(0，π)，因为在这个范围内，余弦才有反函数，所以最后的结果中应该有一个负号.

追问

但是－π，0，余弦函数也是单调的，也有反函数

追答

你仔细看看反余弦的定义域和值域

追问

反函数我弄懂了的

但是只有在一个区间单调连续可导，那这个区间就存在反函数呀

追答

反余弦的值域是[0，π]

追问

cosx在(－π，0)是单调递增的，在这个区间也有反函数

每个单调区间都有反函数，为什么非要在0，π这个单调区间

追答

你根本没弄懂，正弦函数只定义了在x∈[-π/2,π/2]上的反正弦函数；同样，余弦函数也只定义了在x∈[0，π]上的反余弦函数。

追问

我图都画出来的了

那cosx在－π，0)区间的反函数你会求吗

追答

当然能画出来了，那也改变不了反函数的值域到底是什么的事实啊。
如果让你求y=arccosx的值域，你说结果是什么？只有唯一的结果，就是[0，π].

照你的说法，那它的值域有无穷个了。

追问

规定(0，π)，那我也可以规定在(－π，0)的反函数

可以推出在－π，0区间的反函数

也是记作arccosx

追答

可事实上这件事你做不了主啊，你还是先学学反三角函数的定义吧。

追问

但是他的导数方向与0，π区间的相反，所以导数为负号，所以在(－π，0)区间的反函数y＝arccosx的导数为1/√1－x²，

你带进去，这样答案就正确了

但是书上为了统一规定，所以规定cosx的反三角函数是取0，π这个单调区间的来作为反函数

你是老师吗，如果是老师应该知道我在说什么吧

你看求反函数的

我弄懂了呀

Answer 2

。这样带进去根号下不就是负数了么