求圆ρ=√2sinθ与双纽线ρ∧2=cos2θ所围成图形的公共部分的面积 5
如图所示：
所求公共面积=0.16 。
把ρ=√2sinθ代入ρ^2=cos2θ得
2sin^θ=1-2sin^θ,
sin^θ=1/4,
取sinθ=1/2,θ=π/6。
由对称性，所求面积=2{∫<0,π/6>dθ∫<0,√2sinθ>ρdρ+∫<π/6，π/4>dθ∫<0,√cos2θ>ρdρ}
={∫<0,π/6>(1-cos2θ)dθ+∫<π/6，π/4>cos2θdθ}
=[θ-(1/2)sin2θ]|<0,π/6>+(1/2)sin2θ|<π/6，π/4>
=π/6-√3/4+（1/2)(1-√3/2）
=π/6+1/2-√3/2。
扩展资料：
曲线积分计算方法：
1、对弧长的曲线积分计算方法
一般采用直接计算法，即写出曲线的参数方程，借助弧微分计算公式，直接代入被积被积表达式转换为定积分的方法计算，注意定积分下限小于上限. 也可以考虑借助于其实际意义，借助元素法转换为其他类型的积分来完成计算。
2、对坐标的曲线积分的计算方法
(1) 直接计算方法，参数方程表达式直接代入，转换为定积分计算的方法。注意定积分下限为起点对应的参数，上限为终点对应的参数。
(2) 两类曲线积分之间的关系. 注意方向余弦构成的切向量的方向应与曲线方向一直。
(3) 格林公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。 (注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)
(4) 积分与路径无关(格林公式)。
3、对坐标的曲面积分的计算方法。
(1) 直接计算方法，将对不同坐标的曲面积分分开单独计算，考虑曲面为单独的三种不同简单类型，采取直接代入函数表达式转换为二重积分的方法计算，唯一要注意的是，法向量与相应坐标轴的方向关系决定直接将曲面积分转换为二重积分的正负。
(2) 两类曲面积分之间的关系. 注意方向余弦构成的法向量的方向应与曲面的法向量方向一直。
(3) 利用两类曲面积分之间的关系，将三个对坐标的曲面积分转换为一种类型的对坐标的曲面积分，这样就只要考虑曲面为一种类型的简单类型即可。
(4) 高斯公式，当积分曲线为空间曲线时，则使用格林公式。 (注意三个条件：封闭性，方向性与偏导的连续性)
