Question

求详解用数学归纳法证明一道线性代数题。如图

Answer 1

证明：∵当k为正整数时，有E^k=E，∴当k=1时，显然有A+E=E+(2^1-1)A。当k=2时，(A+E)²=A²+2AE+E²=E+3A=E+(2²-1)A，∴k=2时，等式成立。
假设k=n时，有(A+E)^n=E+(2^n-1)A。
∴k=n+1时，(A+E)^(n+1)=[E+(2^n-1)A](A+E)=A+E+(2^n-1)A²+(2^n-1)A=E+[2^(n+1)-1]A。
∴k为正整数时，(A+E)^k=E+(2^k-1)A成立。
供参考。