证明方程有且仅有一个实根

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匿名用户
2017-12-19
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设函数f(x)=ln(1+x²)-x-1
x取任意实数,函数表达式恒有意义,函数定义域为R
f'(x)=[ln(1+x²)-x-1]'
=2x/(1+x²) -1
=(2x-1-x²)/(1+x²)
=-(x²-2x+1)/(1+x²)
=-(x-1)²/(1+x²)
1+x²恒>0,(x-1)²恒≥0,又-1<0
f'(x)≤0,函数在R上单调递减,至多有一个零点。
f(1)=ln1-1-1=0-2=-2<0
f(e)=ln(1+e²)-e-1>lne²-e-1=2e-e-1=e-1>0
函数在(1,e)上有零点,则此零点为f(x)的唯一零点。
方程ln(1+x²)=x+1有且仅有一个实根
八月冰霜一场梦
2017-12-19 · TA获得超过6.4万个赞
知道大有可为答主
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解析

根据题意我们可以将方程的根转化为函数的交点个数来解,在利用数形结合的方法我们就能证明方程有且只有一个实根。
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