Question

数学选修2-2定积分求和 求从划线开始之后的详细步骤

如图，求从划线开始之后的详细步骤，尤其是括号里求和的。

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Answer 1

解：书中的计算过程是，∑[-(1+i/n)²+2(1+i)/n]/n=-(1/n³)∑[(n+i)²+(2/n²)∑(n+i)。
利用“连续自然数平方的之和公式∑i²=n(n+1)(2n+1)/6、连续自然数之和的公式∑i=n(n+1)/2，其中i=1,2，……，n"
∴∑(n+i)²=∑k²-∑i²【k=1,2，……，2n、i=1,2，……n】=2n(2n+1)(4n+1)/6-n(n+1)(2n+1)/6=n(2n+1)(7n+1)/6。同理，∑(n+i)=∑k-∑i=n(3n+1)/2，∴有余下的步骤。
【本题，可以“简化”计算过程。∵-(1+i/n)²+2(1+i)/n=1-(i/n)²，
∴∑[-(1+i/n)²+2(1+i)/n]/n=∑[1-(i/n)²]/n=1-∑i²/n³=1-n(n+1)(2n+1)/(6n³)。取极限即可】。供参考。