Question

如图，高中数学，函数题。

如图，高中数学，函数题。已知函数f（x）满足f（x）＝f（2-x），且f（x）在（1，+∞）上为减函数。求满足不等式f（m+1）≤f（2m）的实数m的取值范围

Answer 1

• f(x)＝f(2-x)

  f(x-1)=f[2-(x-1)]=f(1-x)→f(x)关于x=1对称

  f(x)在(1,+∞)上为减函数→f(x)在(-∞,1)上为增函数

  f(1)为最大值

  f(m+1)≤f(2m)

1. m+1≥1∩2m≥1→m≥½时，f(x)为减函数→m+1≥2m→m≤1

   即m∈[½,1]

2. m+1≤1∩2m≤1→m≤0时，f(x)为增函数→m+1≤2m→m≥1→无解

3. m∈(0,½)时，1-(m+1)≥2m-1→m≤⅓ （离对称轴更远些）

   即m∈[⅓,½]

   综上 ∈[⅓,1]

   （可以以f(x)=-(x-1)²为例进行验证）

   
   

Answer 2

f(x)=f(2-x)，说明函数f(x)关于 x=1对称， f(x)在(1,+∞）上为减函数，所以 f(x)
在(-∞，1）上为增函数。作出函数图像，如下.

(1)  m+1≤1, 且2m≤1，则 m+1≤2m, 解得m不存在；

(2) m+1≥1, 且2m≥1，则 m+1≥2m, 解得1/2≤m≤1；

(3)m+1≥1, 且2m≤1，则 |m+1-1|≤|2m-1|, 解得0≤m≤1/3；

(4) m+1≤1, 且2m≥1，则 |m+1-1|≥|2m-1|, 解得m不存在。

综上，0≤m≤1/3 或 1/2≤m≤1 满足不等式 f（m+1）≤f（2m）