Question

数学求证一个圆中。两段弧相等，那么弧所对应的弦也相等。

数学求证一个圆中。两段弧相等，那么弧所对应的弦也相等。求证明，这个结论

Answer 1

设弧AB对应的弦为AB，作弦AB的垂直平分线QO交AB于Q

弧CD对应的弦为CD，作弦CD的垂直平分线OP交CD于P

已知弧AB=弧CD，证AB=CD。

证明思路如下：

这样楼主应该会证明了吧

Answer 2

同弧或等弧所对的圆心角相等,这个结论没问题吧?
没问题的话,利用SAS不就马上出来弦相等了吗?

追问

那可以计算出弓形的面积嘛？然后利用面积相等证明出弦相等

追答

面积等，弦为什么等？

追问

因为弧相等呀？！弧所限定的空间自然相等呀

两条弦在弧的空间中的位置一样呀

因为弦是两个弧的端点的连线

弦是一个弧的两个端点的连线，应该这么说

追答

那请问弓形面积为什么等呢?你如何计算的?

追问

F=1/2【rL-c(r-h)】

已知，弓形圆心角，弧长，弓形半径，弦高相等，

反证法，如果面积不相等，那么，弧长所在的空间必然会有所不同，那么弦高也不可能相等，所以面积必须相等，即证明

追答

好，弦高为什么等？不要告诉我说是相等的弦所对应的弦心距相等。

追问

既然是高，那么必然是垂直于弦的，而且必须是弦到弓形弧距离最远的那个点，而弧的中点就是最远的那个点

在两个相等的弧中只存在这一种情况，

虽然不能够说明他就是弦的中点（循环论证），但是也足以说明这两个高是相等的

因为弧的中点只有一个，

追答

1. 你定义弓形的高为弧上的点到弦距离最大的那条线段,这个没问题.

2. 弧的中点就是到弦距离最远的点,这是你通过什么定理得到的?请你不要说不足以证明这种话,你既然已经知道不足以证明是中点,你怎么能使用这个结论?

3. 就算你证明出来弧的中点到弦的距离就是最远的距离,你也还是没有回答我说弓形面积为什么等呀,你弓形面积的公式中,并没有出现你定义的这个高.
   

追问

H是弦高

把弧二等分，离弧二等分点越近的位置，垂直距离越远，反之亦然，我说的不是弧的中点不能证，而是一旦确立弧的中点，就可以明确距离最远的点，但是你却不能用这个结论来证明弧的中点一定在弦的二等分上，因为那会导致循环论证，我想说的是只要两端弓形的弧相等，那么这个距离就是唯一的，并且是相等的

追答

你要证明面积等,可以通过弓形全等来得到,这个我就不与你纠缠.接下来的问题就是,你如何证明你定义的高,就是公式中的h.你说离弧中点越近的位置,到弦的垂直距离越远,是什么公式或者定理得到的?
其实除了我说的SAS全等以外,弓形的全等完全够了.什么叫等弧?能够重合的两条弧叫做等弧.既然能重合,它们的端点当然也重合.既然两个端点重合了,它们之间的线段(也就是弦)当然也重合,那不就相等了吗?

追问

我的提问就是为什么等弧对等弦，所以您刚才说的对我我的题目来说真的有意义嘛？！我并非要纠缠，只是想寻求另外一种解释罢了，如果有不足的地方，我可以继续改进

我只是觉得面积并非一条死胡同，只是我还没有找到正确的方法，以后还需要多多请教，谢谢🙏

追答

你要找另一种解释可以，但你要进行的相应说明就太多了，例如我问你的为什么中点到弦距离最长？你怎么确定你定义的高就是公式中的h？如果你只是作为课外的兴趣去研究的，那你时间多绕远路也没关系，但要是你在考试的时候还东想西想，你就是自掘坟墓。

追问

“你要找另一种解释可以，但你要进行的相应说明就太多了，例如我问你的为什么中点到弦距离最长？”———-咱们一个一个问题的回答，您之前也说过，就像角平分线定理一样，是为了确保角平分线的唯一性，这个可以用反证法，如果不是中点的话，你在任意位置都可以找到一个对应的高，也就是两个垂直的距离，这不满足高定义中的唯一性，

弧的二等分点只有一个，其他的等分点都不满足这个性质，这样就足以确保高的唯一性，我不知道这么说您能不能明白

追答

注意哦我问的不是说,为什么中点到弦的距离是高.我问的是,为什么中点到弦的距离最长(而不是最短).这条线段用对称性可以知道确实是唯一的长度,我只是问你为什么这条线段就是最长的,为什么这条线段就是公式中的h