Question

α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E－αα^T的秩为？

α为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E－αα^T的秩为？为什么aaT的秩是1啊？

Answer 1

(aa^T)a=a(a^Ta)=a 

故1为aa^T的特征值

又r(aa^T)=1故0为其2重特征值.

故E-aaT的特征值为0,1,1

故E-aaT的秩为2.

扩展资料

矩阵的秩变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

参考资料

百度百科——矩阵的秩

Answer 2

有一个定理r(AA^T=r(A)，所以r(αα^T)=r(α)=1，αα^T是对称阵，可知αα^T的特征值是1，0，0，而E-αα^T的特征值是0，1，1，且E-αα^T也是对称阵，所以E-αα^T的秩是2。

Answer 3

(2017,1/3) 设α为n阶单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）
（A）E-αα^T不可逆
α为n阶单位列向量，设α = （a1,a2,...,an）^T,
则α^Tα = (a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2 = 1，
有(αα^T)α = α(α^Tα) = α, (因为其中α^Tα = 1)，
由相似矩阵的定义，αα^T有一个特征值为λ = 1，
由特征多项式|λE-αα^T| = |E-αα^T|=0,
所以E-αα^T不可逆

Answer 4

首先清楚什么是3维单位列向量，是(1,0,0)这样的，而不是(1,1,1)，弄错的不止我一个吧？