高数求第四题解答过程
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第一类换元法，关键是凑微分，这要求导数非常熟练。
例如 I = ∫dx/(1+e^x) , 看不出怎么凑微分，
分子分母分别成以 e^x
I = ∫e^xdx/[e^x(1+e^x)], 注意 e^xdx = de^x, 这样可将积分变量换为 u = e^x,
I = ∫de^x/[e^x(1+e^x)] = ∫du/[u(1+u)] = ∫[1/u-1/(1+u)]du
= ∫du/u - ∫d(1+u)/(1+u) = ln|u| - ln|1+u| + C
= ln|u/(1+u)| + C = ln|e^x/(1+e^x)| + C
例如 I = ∫dx/(1+e^x) , 看不出怎么凑微分，
分子分母分别成以 e^x
I = ∫e^xdx/[e^x(1+e^x)], 注意 e^xdx = de^x, 这样可将积分变量换为 u = e^x,
I = ∫de^x/[e^x(1+e^x)] = ∫du/[u(1+u)] = ∫[1/u-1/(1+u)]du
= ∫du/u - ∫d(1+u)/(1+u) = ln|u| - ln|1+u| + C
= ln|u/(1+u)| + C = ln|e^x/(1+e^x)| + C
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