Question

一道线性代数题，如图，请问，这里红线处，齐次线性方程组有非零解，那么为什么后面还会引入存在不全为零

的常数，这些常数的作用是啥，并且表示的后面那个式子，又是什么作用？不太懂，求指教，谢谢

Answer 1

先理解这式子表达的是什么意思，从二维平面向量解释下你仔细想一下就明白了。
假如只a1,a2,a3非零向量，是二维平面xoy上的向量，a1、a2不平行，系数用ki代替。
k1a1+k2a2+k3a3=0
这个式子肯定有非零解，为什么？因为平面上任意向量都可以用a1、a2表达出来，这就叫做线性相关。
k1a1+k2a2=0肯定只有零解，因为他们代表两个不同方向，要式子为零，只有自己系数为零，这叫做性线无关。
那两名话的意思也就是：一组非零向量，每个向量都不能用同组中其它向量线性组合表达出来，就叫做性线无关。反之就叫做线性相关。

追问

为什么平面任意向量都可以被a1,a2表示出来？

追答

你可以假设平a1、a2 分别是x、y轴上的两个向量，xy平面上的所有向量是不是可以用它们表示出来？

追问

可以可以，谢谢

Answer 2

由于每个αi都是含m个分量的向量，αi＝(ai1, ai2,…,aim)，故k1α1+k2α2+…+knαn＝0实际上是m个方程组成的方程组，具体写出来就是
a11k1+a12k2+…+a1nkn＝0,
a21k1+a22k2+…+a2nkn＝0,
… … … … … … … …
am1k1+am2k2+…+amnkn＝0.
这表明k1、k2、…、kn就是齐次线性方程组的一组解。所以，只要齐次线性方程组有非零解，就一定存在不全为零的数k1,…,kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn＝0.

Answer 3

这就是齐次线性方程组有零解的条件，后面证明题会用到，很重要的，可以看看李永乐老师的线代课视频