Question

(四)关于正则化

Answer 1

1.正则化的本质

什么是正则化?正则化包括正则化变量和正则化承载两个内容。它是在实际应用中体现区域化变量理论的一个技术环节。

若观测数据为Z_v(x),信息点x的承载(支撑)为u[写作u(x)](例如钻探工程的岩心样品,坑道内取的矿样等)。此时,x点的观测数据Z_v(x)实际上是点x所在的承载的数据,这个承载占有一定的体积,现实中它不可能是一个纯粹的点数据(纯粹的点数据只是理论上的),因此,代表点x的承载u(x)的数据(如矿石品位)Z_v(x)实际上是点x承载的信息平均值。

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

平均值Z_v(x)即为区域化变量Z(y)在承载u(x)内的正则化变量,其中u(x)称正则化承载。而Z_v(x)的运算过程叫做把Z(y)在u(x)上的正则化。所以正则化就是用承载u(x)内的平均值代替原始(点)数据。正则化依赖于正则化支撑(承载)u(x)的大小,形状及方向正则化承载u(x)确定后,正则化变量Z_v(x)亦是一个区域化变量,所以又称作是原区域化变量Z(y)的正则化变量。

2.正则化变量Z_v(x)的性质

1)若Z(y)二阶平稳,则Z(x)同样二阶平稳。即满足Z(y)二阶平稳的两个条件:

E[Z(y)]=m(常数)

Cov(协方差函数)[Z(y),Z(y+h)]=[EZ(y),Z(y+h)]-m²=C(h)

同样是满足Z_v(y)二阶平稳的条件,将Z(y)和Z(y+h)换成Z_v(x)和Z_v(x+h)即可。

2)若Z(y)二阶平稳,则正则化变量Z_v(x)的变差函数 存在而且平稳,其协方差函数C_v(h)、方差函数C_v(0)和变差函数γ_v(h)之间亦满足关系式:γ_v(h)=C_v(0)-C_v(h)(证明从略)

3.正则化(变量的)变差函数的计算公式:

对于变差函数

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

我们可以把变差函数计算公式看成是用平均品位Z_v(x+h)估计平均品位Z_v(x)的估计方差 h),u(x+h)]}

因为点半变差函数γ(h)平稳,所以上式右边的后两项相等

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

式中的γ_h表示支撑v平移了一个向量h后形成的另一支撑。

当距离h相对于支撑v很大时(h<<r),其平均值γ(v,v_h)近似地等于点变差函数γ(h),

即γ_v(h)≈γ(h) (这个公式在实际工作中很有用)它们的关系如下图所示。

例如,有一个钻孔的所有岩心样品具有相同的样长l和相同的样品横截面积S,当S与l相比甚小时,可以忽略S,这样,就可以把两个岩心样品看成是具有同样长度l和相隔距离为h的两个列线线段,其正则化的变差函数式写成

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

见下页图。