Question

递推数列求极限

为什么递推函数单增，递推数列有单调性，递推函数单减，递推数列就没有单调性了？

Answer 1

分享一种解法。∵(Xn+1)=(Xn)²-2，∴(1/2)(Xn+1)=2[(Xn/2)²]-1。
令(Xn)/2=cosh(an)。∴cosh(an+1)=cosh(2an)。∴an=(a1)*2^(n-1)。
又，(X1)/2=cosh(a1)，解得a1=ln[(√5+1)/2]。∴Xn=[(√5+1)/2]^[2^(n-1)]+[(√5-1)/2]^[2^(n-1)]。
可得，lim(n→∞)(X1*X2*…*Xn)/(xn+1)=1。
供参考。