Question

求解高数问题，多元函数微分问题，题目如图所示。

Answer 1

我猜的。。。。。。。。

Answer 2

解：由原来的表达式：r²=x²+y²。以及θ=arccos（x/r）。

∂r/∂x=x/√（x²+y²）。

∂θ/∂x=（arccos（x/r））'=-1/[r√（1-x²/r²）]。

所以：

[x/√（x²+y²）]²+{-r/[r√（1-x²/r²）]²=x²/（x²+y²）+1/（1-x²/r²）=x²/（x²+y²）+r²/（r²-x²）=x²/（x²+y²）+（x²+y²）/y²。

Answer 3

已知 x=rcosθ， y=rsinθ； 则(∂r/∂x)+(r∂θ/∂x)²=?
解： ∂x/∂r=cosθ， ∴ ∂r/∂x=1/cosθ；
∂x/∂θ=-rsinθ， ∴∂θ/∂x=-1/(rsinθ)， ∴ r(∂θ/∂x)=-1/sinθ；
∴(∂r/∂x)²+(r∂θ/∂x)²=1/cos²θ+1/sin²θ=1/(sin²θcos²θ)=4/sin2θ;

Answer 4

由题设条件，有r=√(x²+y²)，tanθ=y/x。∴∂r/∂x=x/√(x²+y²)=x/r，∂θ/∂x=(-y)/(x²+y²)=-y/r²。
∴原式=[x/r]²+[r*(-y/r²)]²=1。
供参考。