带根号的定积分怎么求?

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小阳同学
2021-07-23 · 知道合伙人教育行家
小阳同学
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江苏省高等数学竞赛二等奖

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带根号的定积分求法如下:

令x=sint

x:0→1,则t:0→π/2

∫[0:1]√(1-x²)dx

=∫[0:π/2]√(1-sin²t)d(sint)

=∫[0:π/2]cos²tdt

=½∫[0:π/2](1+cos2t)dt

=(½t+¼sin2t)|[0:π/2]

=[½·(π/2)+¼sinπ]-(½·0+¼sin0)

=π/4

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个导函数的原函数。

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令x=sint

x:0→1,则t:0→π/2

∫[0:1]√(1-x²)dx

=∫[0:π/2]√(1-sin²t)d(sint)

=∫[0:π/2]cos²tdt

=½∫[0:π/2](1+cos2t)dt

=(½t+¼sin2t)|[0:π/2]

=[½·(π/2)+¼sinπ]-(½·0+¼sin0)

=π/4

扩展资料:

定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。

定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。

定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。

参考资料来源:百度百科-定积分

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如图所示

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第二个不懂
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基拉的祷告hyj
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基拉的祷告hyj
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朋友,你好!详细过程如图所示,希望有所帮助

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