Question

有摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost），0≤t≤2π，a>0的第一拱？

（1）求摆线与y=0所围成的图形绕y=2a旋转成的旋转体体积
（2）分摆线第一拱长度成1：3的点的坐标

Answer 1

(1) V = π∫<0, 2πa>[(2a)^2-(2a-y)^2]dx = π∫<0, 2πa>(4a-y)ydx
= πa^3∫<0, 2π>(3+cost)(1-cost)^2dt
= πa^3∫<0, 2π>[3-5cost+(cost)^2+(cost)^3]dt
= πa^3{∫<0, 2π>[7/2-5cost+(1/2)(cos2t)]dt + ∫<0, 2π>[1-(sint)^2]dsint}
= πa^3[7t/2-5sint+(1/4)sin2t+sint-(1/3)(sint)^3]<0, 2π> = (7π^2)a^3
(2) 由对称性, 即求前半拱弧长中点坐标, 设中点对应参数为 T,
dx/dt = a(1-cost), dy/dt = asint,
ds = √[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2]dt = a√[2(1-cost)]dt = 2asin(t/2)dt
则 ∫<0, T>2asin(t/2)dt = ∫<T, π>2asin(t/2)dt
4a[cos(t/2)]<0, T> = 4a[cos(t/2)]<T, π>,
cos(T/2) - 1 = - cos(T/2), cos(T/2) = 1/2, T/2 = π/3, T = 2π/3
分点坐标 ： x = a(T-sinT) = a(2π/3-√3/2), y = a(1-cosT) = 3a/2

Answer 2

S=∫|y|dx

=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）

又∵x=a(t-sint)

∴dx=a(1-cost)dt

S=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt

=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt

=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt

=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt

=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)

=3πa²

解题思路：

先观察x=a(t-sint)  在t∈[0,2π]单调增，从而很容易得出x取值范围是[0,2πa]。

再看y=a(1-cost)  在t∈[0,2π]先增后减，分界点在t=π，在t=0和t=2π时，y的值都是0。

根据以上所说，就可以画出大致的图形啦，注意图形需要经过(0,0),(2πa,0)，且在x∈[0,2πa]是先上升再下降，即可。

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c

16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;

17) ∫shx dx=chx+c;

18) ∫chx dx=shx+c;

19) ∫thx dx=ln(chx)+c;

追问

题目要求求体积

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