Question

三重积分问题这题怎么做呀，求助

Answer 1

（1）由高斯定理
I=∫∫∫(Ω) (1-x^2-4y^2-z^2)dV
=∫∫∫(Ω1) (1-x^2-4y^2-z^2)dV+∫∫∫(Ω2) (1-x^2-4y^2-z^2)dV-∫∫∫(Ω3) (1-x^2-4y^2-z^2)dV
其中Ω1={(x,y,z)|x^2+4y^2+z^2<=1}，Ω2=Ω∩Ω1c，Ω3=Ω1∩Ωc
显然，∫∫∫(Ω1) (1-x^2-4y^2-z^2)dV>0，∫∫∫(Ω2) (1-x^2-4y^2-z^2)dV<=0，∫∫∫(Ω3) (1-x^2-4y^2-z^2)dV>=0
要使I最大，需Ω2,Ω3=Ø
则此时，Ω1=Ω={(x,y,z)|x^2+4y^2+z^2<=1}
即∑={(x,y,z)|x^2+4y^2+z^2=1}
（2）Imax=∫∫∫(Ω1) (1-x^2-4y^2-z^2)dV
=2*∫∫∫(Ω1') (1-x^2-4y^2-z^2)dV，其中Ω1'={(x,y,z)|x^2+4y^2+z^2<=1，y>=0}
作柱坐标变换：x=rcosθ，z=rsinθ，y=y
=2*∫(0,2π)dθ∫(0,1)rdr∫(0,(1/2)*√(1-r^2))(1-r^2-4y^2)dy
=4π*∫(0,1)rdr*[(1-r^2)y-(4y^3)/3]|(0,(1/2)*√(1-r^2))
=4π*∫(0,1)rdr*[(1/3)*(1-r^2)^(3/2)]
=(-2π/3)*∫(0,1)(1-r^2)^(3/2)d(1-r^2)
=(-4π/15)*(1-r^2)^(5/2)|(0,1)
=4π/15

追问

答案是这样的

。

答主