Question

微分方程的特解代入原式怎么求

把特解代回原式 再怎么求出来a和b啊，求过程谢谢了

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Answer 1

解答

微分方程y''-3y'+2y=xex对应的齐次微分方程为y''-3y'+2y=0
特征方程为t2-3t+2=0
解得t1=1，t2=2
故齐次微分方程对应的通解y＝C1ex+C2e2x
因此，微分方程y''-3y'+2y=xex对应的非齐次微分方程的特解可设为y*=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex
y*'=[ax2+（2a+b）x+b]ex
y*''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex
将y*，y*'，y*''代入微分方程y''-3y'+2y=xex消去ex即可得到：
[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x
-2ax+2a-b=x
−2a＝1
2a+b＝0

a＝−
1
2
b＝1

所以，非齐次微分方程的特解为y*＝(−
1
2
x2+x)ex
由于非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解
所以，微分方程y''-3y'+2y=xex的通解为y+y*＝(−
1
2
x2+x+C1)ex+C2e2x．

追问

-2a＝1，2a＋b＝0 这两个式子是怎么得来的啊

追答

采纳一下吗

追问

嗯嗯采纳

能帮我解答一下嘛

Answer 2

1º求齐次通解
∵微分方程y''-3y'+2y=xex
对应的齐次微分方程： y''-3y'+2y=0
特征方程：t2-3t+2=0

解得t1=1，t2=2
∴齐次通解y＝C1ex+C2e2x
2º求非齐特解
设y''-3y'+2y=xex对应的非齐特解：
y。=x（ax+b）ex=（ax2+bx）ex
则 y。'=[ax2+（2a+b）x+b]ex
y。''=[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]ex
代入原方程y''-3y'+2y=xex可得：
[ax2+（4a+b）x+（2a+2b）]-3[ax2+（2a+b）x+b]+2（ax2+bx）=x
整理得-2ax+2a-b=x
则−2a＝1，2a-b＝0
解得a＝−1/2，b＝-1
∴非齐次微分方程的特解：
y。＝(−1/2x2-x)ex
3º通解
∴微分方程y''-3y'+2y=xex的通解：
y+y。＝C1·ex+C2·e2x-（1/2x2＋x）·ex

Answer 3