Question

定积分求面积问题

求y=sin x在0＜x＜π的一段与x轴围成的图形分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积v1和v2

Answer 1

V1 = π∫<0, π>(sinx)^2 dx = (π/2)∫<0, π>(1-cos2x) dx
= (π/2)[x-(1/2)sin2x]<0, π> = π^2/2
用柱壳法求 [a, b] 上 f(x) 与 x 轴所围面积绕 y 轴旋转体
体积公式 Vy = ∫<a, b>2πxf(x)dx
则 V2 = 2π∫<0, π>xsinxdx = -2π∫<0, π>xdcosx
= -2π[xcosx]<0, π> + 2π∫<0, π>cosxdx
= 2π^2 + 2π[sinx]<0, π> = 2π^2