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(1)sin√(x+1)-sin√x
=2cos{[√(x+1)+√x]/2}sin{[√(x+1)-√x]/2}
=2cos{[√(x+1)+√x]/2}sin{1/[2[√(x+1)+√x]})
趋于0.
(2)用洛必达法则，
原式趋于-2x/[πcos(πx)]
趋于-2/(-π)=2/π。
(3)原式趋于[1+2x/(1-x)]^(1/tanx)
趋于[1+2x/(1-x)]^(1/x)
趋于[1+2x/(1-x)]^[(1-x)/(2x)*2/(1-x)]
趋于e^2.
(4)x趋于∞时
ln(1+2^x+3^x)/x
趋于[2^x*ln2+3^x*ln3]/(1+2^x+3^x)
=[(2/3)^x*ln2+ln3]/[3^(-x)+(2/3)^x+1]
趋于ln3,
所以(1+2^x+3^x)^(1/x)
=e^[ln(1+2^x+3^x)/x]
趋于e^ln3=3.
=2cos{[√(x+1)+√x]/2}sin{[√(x+1)-√x]/2}
=2cos{[√(x+1)+√x]/2}sin{1/[2[√(x+1)+√x]})
趋于0.
(2)用洛必达法则，
原式趋于-2x/[πcos(πx)]
趋于-2/(-π)=2/π。
(3)原式趋于[1+2x/(1-x)]^(1/tanx)
趋于[1+2x/(1-x)]^(1/x)
趋于[1+2x/(1-x)]^[(1-x)/(2x)*2/(1-x)]
趋于e^2.
(4)x趋于∞时
ln(1+2^x+3^x)/x
趋于[2^x*ln2+3^x*ln3]/(1+2^x+3^x)
=[(2/3)^x*ln2+ln3]/[3^(-x)+(2/3)^x+1]
趋于ln3,
所以(1+2^x+3^x)^(1/x)
=e^[ln(1+2^x+3^x)/x]
趋于e^ln3=3.
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