Question

高数数学题求解！！！！

第6题

Answer 1

求微分方程 yy''=y'+(y')²的通解
解：令y'=dy/dx=p；则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)；
代入原式得：yp(dp/dy)=p+p²；消去一个p，得：y(dp/dy)=1+p；
分离变量得：dp/(1+p)=dy/y；积分之得：ln(1+p)=lny+lnc₁=lnc₁y;
故1+p=c₁y，即p=dy/dx=c₁y-1；故dy/(c₁y-1)=dx；
积分之：∫dy/(c₁y-1)=(1/c₁)∫[1/(c₁y-1)]d(c₁y-1)=(1/c₁)ln[(c₁y-1)]=x+lnc₂;
把lnc₂移到左边得：(1/c₁)ln[(c₁y-1)/c₂]=x； 故ln[(c₁y-1)/c₂]=c₁x;
(c₁y-1)/c₂=e^(c₁x); c₁y-1=c₂e^(c₁x)； c₁y=c₂e^(c₁x)+1；
故通解y=(c₂/c₁)e^(c₁x)+1/c₁；故应选C。