Question

求解一下题，要有详细过程

Answer 1

解：1、lim(x→0)(1-cosx)ln(1+2x^2)=lim(x→0)(1/2!)x^2*(2x)^2/2=lim(x→0)x^4=0;
所以 f(x)是ax^4(a∈R, a≠0,1)的同阶无穷小；填空:ax^4, a∈ (-∞,0),(0,1),(1,+∞);
2、左极限=lim(x→0-)x+sinx/x=1,
有极限=lim(x→0-)xcos(1/x)=0, 左极限≠有极限，填空：左间断点，第二类间断点；
3、dz/dt=3u^2du/dt+1*dV/dt=3t^2+2; 填空：3t^2+2。

第一题也可以选择：a∈(-∞,0),(0,+∞)，需强调当a=1时，还是等价无穷小。

追问

(1/2!)代表什么没看明白

追答

答：这是cosx的泰勒级数展开式的前两项，cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-......;
lim(x→0)(1-cosx)=lim(x→0)1-[1-x^2/2!+o(x^4)]=lim(x→0) x^2/2!-o(x^4)=lim(x→0) x^2/2!
这样写，主要是让你想到它的出处。

Answer 2

1-cosx与x^2同阶,ln(省略)也与x^2同阶，所以这个无穷小和x^4同阶。

f(x)在x=0的左极限是0，左极限也是0，所以x=0是f(x)的连续点，但没完，因为f'(0)=0, 所以这个点还是f(x)的驻点，还可以证明它是不是极值点或拐点，这题怎么说也不是有唯一答案的。
dz/dt=3u'u^2+v'=3t^2+2.

Answer 3

1. x→0 时，1-cosx ~ x^2/2, ln(1+2x^2) ~ 2x^2，
f(x) = (1-cosx)ln(1+2x^2) ~ x^4 , 与 x^4 是同阶无穷小。
2. 左极限是 lim<x→0->x+sinx/x = 1,
右极限是 lim<x→0->xcos(1/x) = 0 = f(0),
x = 0 是 f(x) 的跳跃间断点，属于第一类间断点。
3. dz/dt = 3u^2du/dt + dv/dt = 3t^2 + 2

Answer 4

(1)
x->0
1-cosx =(1/2)x^2 +o(x^2)
ln(1+2x^2) = 2x^2 +o(x^2)
(1-cosx).ln(1+2x^2) = x^4 +o(x^4)
(2)
f(x)
=x + sinx/x ; x<0
=0 ; x=0
=xcos(1/x) ; x>0
f(0-)=lim(x->0) [ x+ sinx/x] =1
f(0+) =lim(x->0) xcos(1/x) =0 =f(0)
x=0, f(x) 不连续
x=0, f(x) 是右连续
(3)
u=t
du/dt =1
v=2t
dv/dt=2
z= u^3+v
dz/dt
=3u^2.du/dt + dv/dt
=3t^2 .(1) + 2
=3t^2 +2