Question

Monte Carlo模拟的基本原理

Answer 1

2.4.2.1 均布随机数

在Monte Carlo模拟过程中，关键是产生［0，1］之间均匀分布的随机数，并通过适当的转换获得相应于某具体概率分布的随机变量来进行模拟。产生均匀分布随机数的方法很多^{［57～59］}，但常用的产生随机数的计算机方法是代数同余法，即：

x_i+1=（ax_i+c）（mod m） （2.6）

其中a、c、m是非负整数，如果k_i是

的整数部分，即：

非连续变形分析方法及其在地下工程中的应用

则对应于模数m的余数是：

x_i+1=ax_i+c-mk_i （2.7）

对于给定初始值（种子数）x₀，通过上式可迭代出一批均匀随机数x₁，x₂，…，x_n。经过如下式的归一化处理，便可得到［0，1］区间上均匀分布的随机数u_i：

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在产生［0，1］之间均匀分布的随机数后，将其转化为满足某种分布（如均匀分布、二项式分布、负指数分布等）的随机变量。如果某随机变量的分布函数存在反函数，则可用反函数方法来确定转化后的随机变量，否则要用数值积分的方法求解。

在计算机上产生的随机数必须满足下列要求^［55］：

（1）分布上的均匀性，统计上的独立性；

（2）产生的随机数可以重复，即给予相同的初始值能得到相同的随机序列，这样可以在相同的条件下模拟不同的设计方案；

（3）应该有足够长的周期，即在达到重复循环之前，能产生足够使用的随机数。

2.4.2.2 正态分布的随机变量

结构面的产状（倾角、倾向）服从正态分布。Box 和Muller（1958）^［55］认为，如果u₁、u₂是两个在［0，1］上独立分布的均匀随机数，则：

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构成一对统计意义上独立的标准正态分布随机变量。对于非标准的正态分布，可用标准正态分布的随机变量X经下列线性变换得到：

x=μ+σX （2.10）

因此源于正态分布N（μ，σ）的随机变量可由下式产生：

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2.4.2.3 负指数分布的随机变量

结构面的间距和迹长是负指数分布的。负指数函数的表达式为^{［60］［61］}：

F_X（x）=1-e^-λx，x≥0 （2.12）

其反函数为：

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由（2.3）式迭代出均匀分布的随机数后，便可获得负指数分布的随机变量：

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或：

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上式中λ为结构面间距或迹长的数学期望。