Question

这道曲线积分怎么做

经过检查这道题积分与路径无关，我想沿着红色的线求积分，设y＝a，按道理a会被消去，但是并没有，到底错在哪里?

Answer 1

<p>已知x和y关于t的表达式 可以得到：
dx=dt-cost dt
dy=sint dt
带入那个积分表达式
[（t-sint-pi-1+cost）(dt-costdt) + (t-sint-pi+1-cost)sintdt] / [(t-sint-pi)^2 + (1-cost)^2]
化简后在0到2pi上积分即可
这个是图像：
</p><p><img>b64543a98226cffc1e178a82b9014a90f603eac4<\/img></p>

Answer 2

曲线积分，计算量大啊！哎！容易出错

追问

都算几遍了，没错

Answer 3

∂[(x-y)/(x²+y²）/∂y

=[-1(x²+y²）-(x-y).2y](x²+y²）²

=[-x²-y²-2xy+2y²](x²+y²）²

=[-x²-2xy+y²](x²+y²）²

∂[(x+y)/(x²+y²）/∂x

=[(x²+y²）-(x+y).2x]/(x²+y²）²

=[-x²+y²-2xy]/(x²+y²）²

积分与路径无关。

红线：左侧竖线：x=-π，y=0~a,向上，dy>0

dx=0，

∫[（x-y）dx+（x+y）dy]/(x²+y²）

=∫(0,a)（-π+y）dy/(π²+y²）

=-1/π∫(0,a)1/(1+(y/π)².dy+∫(0,a)y/(π²+y²）.dy

=-∫(0,a)1/(1+(y/π)².d（y/π）+（1/2）∫(0,a)1/(π²+y²）.d(π²+y²）

=-arctan（y/π）|(0,a)+（1/2）ln(π²+y²）|(0,a)

=-arctan（a/π）+（1/2）[ln(π²+a²）-ln(π²）]

=-arctan（a/π）+（1/2）[ln(π²+a²）/π²）]

=-arctan（a/π）+ln√(1+(a/π）²）.........√

上边：y=a，x=-π~π，从左到右，dx>0,dy=0

积分=∫[（x-y）dx+（x+y）dy]/(x²+y²）

=∫（-π，π）[（x-a）dx/(x²+a²）

=∫（-π，π）x/(x²+a²）.dx-a∫（-π，π）1/(x²+a²）.dx

=0（奇函数）-（1/a）∫（-π，π）1/（（x/a）²+1）.dx

=-∫（-π，π）1/（（x/a）²+1）.d（x/a）

=-arctan（x/a）|（-π，π）

=-[arctan（π/a）-arctan（-π/a）]

=-2arctan（π/a）..............................√

右边，x=π，y=a~0，从上到下，dy<0,dx=0

∫[（x-y）dx+（x+y）dy]/(x²+y²）

=∫(a,0)（π+y）dy/(π²+y²）

=(1/π)∫(a,0)1/(1+(y/π)²].dy+(1/2)∫(a,0)1/(π²+y²）.d(π²+y²）

=arctan(y/π)|(a,0)+(1/2)ln(π²+y²）|(a,0)

=-arctan(a/π)+(1/2)[ln（π²）-ln(π²+a²）]

=-arctan(a/π)-ln√(1+(a/π)²）..............................√

合计：

-arctan（a/π）+ln√(1+(a/π）²）-2arctan（π/a）-arctan(a/π)-ln√(1+(a/π)²）

=-2arctan（a/π）-2arctan（π/a）

=-2[arctan（a/π）+arctan（π/a）]

余角的正切，互为倒数，arctan（a/π）+arctan（π/a）=π/2

上式=-π

沿-π~π的上半圆：r=√（x²+y²）=π，x=πcosθ，y=πsinθ，θ=π~0

dx=-πsinθdθ，dy=πcosθdθ

∫[（x-y）dx+（x+y）dy]/(x²+y²）

=∫（π，0）[（πcosθ-πsinθ）（-πsinθdθ）+（πcosθ+πsinθ）πcosθdθ]/(π²）

=∫（π，0）[（cosθ-sinθ）（-sinθ）+（cosθ+sinθ）cosθ]dθ

=∫（π，0）[-sinθcosθ+sin²θ+cos²θ+sinθcosθ]dθ

=∫（π，0）dθ

=-π

结果一致。

最简单的路径是（-π，0）到（π，0），但是经过原点，分母分子都是0，是奇点。积分无意义。

Answer 4

[0,a]∫(y-π)/(y²+π²)dy+[a,0]∫(y+π)/(y²+π²)dy+[-π,π]∫(x-a)/(x²+a²)dx
=[0,a]∫(-2π)/(y²+π²)dy+[-π,π]∫(x-a)/(x²+a²)dx
=[0,a]∫(-2π)/(y²+π²)dy+[0,π]∫(-2a)/(x²+a²)dx
=[0,a](-2atctan(y/π))+[0,π](-2arctan(x/a))
=-2atctan(a/π)-2arctan(π/a)
=-2(arctan(a/π)+arctan(π/a))
=-π,if a>0
=π,if a<0
让a=0积分不更简单啊？被积函数是奇函数，在-π到π积分主值是0，但是在原点是个一阶极点，留数是1，运用小圆弧引理，得到极点积分是-π，所以最终结果是-π。
或者你选半圆的积分x=πcosθ，y=πsinθ。θ从-π到0。可以化简成∫dθ=-π。