Question

高等数学导数 求详细过程

Answer 1

h(x)=|x^3-1|

x>1，h'(x)=3x^2，

x<1，h'(x)=-3x^2，

h(x)在 x=1 处左右导数=3、-3

f'(x)=h'(x)*g(x)+h(x)*g'(x)在 x=1 处导数存在，则g(1)=0，必要条件成立

充分性由定义证明：

选择C

追问

有点问题 g‘（x）一定存在吗？

追答

有点问题 g‘（x）一定存在吗？
直接用定义证明 f'(1) 存在，不涉及其他的点，不单独讨论 g'(1)，更不讨论导函数 g'（x）
函数在某一点的导数是否存在？只要看定义中的极限是否存在
这个在上面的图片中，已经给出了完整的证明，

Answer 2

可导，则 lim |x-1|/(x-1) * (x^2+x+1) * g(x) 极限存在（x->1)，
由于 (x^2+x+1)*g(x) 极限存在，但 |x-1|/(x-1) 极限不存在(左右分别为 -1、1)，
所以必然有 lim g(x)=0，也即 g(1)=0；
反之，g(1)=0 时，马上可得 lim = 0 ，可导。
选 C

追问

请问 由于 (x^2+x+1)*g(x) 极限存在，但 |x-1|/(x-1) 极限不存在(左右分别为 -1、1)，所以必然有 lim g(x)=0
这里是怎么推出的lim gx=0

追答

lim g(x) 要不是 0，比如 a，那么结果左右极限就是 -a 和 a，极限就不存在，就不可导了。

追问

极限0乘极限不存在结果极限可能存在或不存在，但是如果极限不存在是跳跃间断，那么和极限0乘结果一定是0吗？

追答

0 很特殊，虽然 |x-1| / (x-1) 左右极限不相等，但乘以 g(x) 后，如果 g(x) 极限为 0，
那么 左右极限就都是 0 了，就存在极限了。其他数不行。