Question

求数列极限

Answer 1

分成两项之后，
用有理因式法转化之后，
就可以运用运算法则啦。

Answer 2

首先说答案=1/2；求解过程如下：
引入一个新的变量下，使 x=1/[n^(1/2)]。即x^2 = 1/n，带入x将原式变换成为x的变量式
lim [(n+2)^(1/2) -2(n+1)^(1/2) +n^(1/2)][n^(1/2)] = lim [(1+2x^2)^(1/2) - 2(1+x^2)^(1/2) +1]/(x^2)
当n->∞ 时有x->0;
而当x->0时，变换后的求极限式子的分子和分母也都->0 (无穷小)，因此可以使用洛必达定理，分别对分子分母求导。
分子= [(1+2x^2)^(1/2) - 2(1+x^2)^(1/2) +1]；求导后=[4x/2(1+2x^2)^(1/2) - 2x/2(1+ x^2)^(1/2) ]
= [2x(1+x^2)^(1/2) - x(1+2x^2)^(1/2) ]/{(1+2x^(1/2)][(1+x^(1/2)]}^(1/2)
分母=x^2；求导=2x;
分子分母的x相约后求极限的式子变为
lim [2(1+x^2)^(1/2) - (1+2x^2)^(1/2) ]/2{(1+2x^(1/2)][(1+x^(1/2)]}^(1/2) |x->0 = 1/2
所以，上式的极限值=1/2

Answer 3

lim(n->∞) [√(n+2) -2√(n+1) +√n ] √n
=lim(n->∞) [√(n^2+2n) -2√(n^2+n) +n ]
=lim(n->∞) [√(n^2+2n) -√(n^2+n)] +lim(n->∞) [n- √(n^2+n)]
=lim(n->∞) [(n^2+2n) -(n^2+n)]/[√(n^2+2n) +√(n^2+n)]
+lim(n->∞) [n^2- (n^2+n)]/[n+ √(n^2+n)]
=lim(n->∞) n/[√(n^2+2n) +√(n^2+n)] - lim(n->∞) n/[n+ √(n^2+n)]
分子分母同时除以n
=lim(n->∞) 1/[√(1+2/n) +√(1+1/n)] - lim(n->∞) 1/[1+ √(1+1/n)]
=1/2 -1/2
=0