Question

请教数学大佬，谢谢

为什么要改变积分次序后区域需分2块

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Answer 1

改变积分次序，有一种做法，很方便直观，画出草图，把整个图包括坐标轴，沿着 y=x 这条直线轴对称一下，横轴就变成了 y 轴，纵轴就变成了 x 轴，积分上下限就一目了然，也可以用一张半透明的纸，先画草图，再沿着 y=x 这条直线翻过来，效果一样，

这个要分两段积分，注意反函数，

第一段，y=0~1，x=0~y^2

第二段，,y=1~2，x=0~√[1-(y-1)^2]

I=∫(y=0~1)dy∫(x=0~y^2)f(x,y)dx

+∫(y=1~2)dy∫(x=0~√[1-(y-1)^2)f(x,y)dx

Answer 2

积分区域如图，
在 y＝1 的上下两侧，从左到右 x 的变化终值是不同的，
下面是曲线 y＝√x，用 y 表示就是 x＝y²，
同理上面的是 x＝√[1 - (y - 1)²]，
不分两部分不行啊。

追问

y>1时，变化终值是1;y<1时，变化终值是0，为什么要看终值？用于区别不同的被积函数？

追答

y＝1＋√(1 - x²)
y - 1＝√(1 - x²)
(y - 1)²＝1 - x²
x²＝1 - (y - 1)²
x＝√[1 - (y - 1)²]