Question

如图,分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和ACE,线段BE与CD相交与点

连接OA，求证OA平分角DOE

Answer 1

证明：过点A作AM⊥BE于M，AN⊥CD于N
∵等边三角形△ABD和△ACE
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ABD＝∠ADB＝∠BAD＝∠CAE＝60
∵∠BAE＝∠BAC+∠CAE，∠DAC＝∠BAC+∠BAD
∴∠BAE＝∠DAC
∴△ABE≌△ADC （SAS）
∴BE＝CD，S△ABE＝S△ADC
∵AM⊥BE，AN⊥CD
∴S△ABE＝BE×AM/2，S△ADC＝CD×AN/2
∴BE×AM/2＝CD×AN/2
∴AM＝AN
∴OA平分∠DOE

Answer 2

方法1，用四点共圆证
证明：因为三角形ABD是等边三角形
所以角BAD=角ABD=60度
AD=AB
因为三角形ACE是等边三角形
所以角CAE=角ACE=60度
AC=AE
因为角DAC=角BAD+角BAC=60+角BAC
角BAE=角BAC+角CAE=60+角BAC
所以角DAC=角BAE
所以三角形DAC和三角形BAE全等（SAS)
所以角ADC=角ABE
角AEB=角ACD
所以A.D.B.O四点共圆和A,O.C.E四点共圆
所以角AOD=角ABD=60度
角AOE=角ACE=60度
所以角AOD=角AOE=60度
所以OA平分角DOE
方法2、用面积法证
证明：过点A分别作AM垂直DC于M .AN垂直BE于N
所以S三角形ADC=1/2*DC*AM
S三角形ABE=1/2*BE*AN
角AMO=角ANO=90度
因为三角形ABD是等边三角形
所以AD=AB
角BAD=60度
因为三角形ACE是等边三角形
所以AC=AE
角ACE=60度
因为角DAC=角BAD+角BAC=60+角BAC
角BAE=角BAC+角CAE=60+角BAC
所以角DAC=角BAE
所以三角形DAC和三角形BAE全等（SAS)
所以S三角形DAC=S三角形BAE
DC=BE
所以AM=AN
因为OA=OA
所以直角三角形OAM和直角三角形OAN全等（HL)
所以角AOM=角AON
所以OA平分角DOE

追问

什么叫四点共圆？

追答

四点共圆是指这四个顶点在同一个圆上