Question

高数积分题

每一步是如何得来的

Answer 1

令u=x-t。t=x时u=0，t=0时u=x。
所以换元过后，积分上限是0，积分下限是x。
du=-dt。这个负号用来把积分的上下限交换了。

Answer 2

dcosbx = -bsinbx dx
-(1/b)dcosbx = sinbx dx
//
∫ e^(ax) sinbx dx
=-(1/b) ∫ e^(ax) dcosbx
=-(1/b) e^(ax).cosbx +(a/b) ∫ e^(ax) cosbx dx
=-(1/b) e^(ax).cosbx + (a/b^2) ∫ e^(ax) dsinbx
=-(1/b) e^(ax).cosbx + (a/b^2) e^(ax). sinbx - (a^2/b^2) ∫ e^(ax) sinbx dx
[(a^2+b^2)/b^2] ∫ e^(ax) sinbx dx = -(1/b) e^(ax).cosbx + (a/b^2) e^(ax). sinbx
∫ e^(ax) sinbx dx
=-[b/(a^2+b^2)]e^(ax).cosbx + [a/(a^2+b^2) ] e^(ax). sinbx + C

追问

原式的第一步我能看懂，但怎么由第一步变为第二步的？

追答

∫ udv = uv - ∫vdu    

//

-(1/b) ∫ e^(ax) dcosbx

=-(1/b)e^(ax).cosbx  + (1/b) ∫ cosbx de^(ax)

=-(1/b)e^(ax).cosbx  + (1/b) ∫ cosbx . ae^(ax) dx

=-(1/b)e^(ax).cosbx  + (a/b) ∫ cosbx . e^(ax) dx

追问

为什么[(a^2+b^2)/b^2] ∫ e^(ax) sinbx dx = -(1/b) e^(ax).cosbx + (a/b^2) e^(ax). sinbx