Question

高数反常积分怎么做？

怎么做？

Answer 1

用把1/x^3凑到d后面去得-1/2·S（1—>正无穷大）arccos(1/x)d(1/x^2),再用分部积分法得-1/2·1/x^2·arccos(1/x)(1—>正无穷大)+1/2·S（1—>正无穷大）(1/x^2)darccos(1/x)=1/2·S（1—>正无穷大）(1/x^2)/根号(1-(1/x^2))d(1/x)
=1/2·S（1—>0）u^2/根号(1-u^2)du=1/2·S（pi/2—>0）(sint)^2dt=1/4·S（pi/2—>0）(1-cos2t)dt=-pi/8-1/4. 运算太复杂了，可能有粗心的错误，自己检查一下，主要看思路。

Answer 2

在有界区域内，反常积分指的是无界函数的积分。答案是B,因为x从右侧接近于0时xe^(1/x)趋于无穷。而另外三个选项当x趋于0时，被积函数趋于0，都不是无界函数。

Answer 3

令t=1/x,则dx=-dt/t²,x从1变化到+∞时t从1变化到0

原式=∫[1,0]t³*arccost*(-dt/t²)
=∫[0,1]tarccostdt
=(t²/2-1/4)arccost-t/4*√(1-x²)|[0,1]
=0-(-1/4)*π/2
=π/8

Answer 4

let
x= secu
dx= secu .tanu du
x=1, u=0
x=+∞ , u=π/2
∫(1->+∞) (1/x^3) arccos(1/x) dx

=-(1/2)∫(1->+∞) arccos(1/x) d(1/x^2)
=-(1/2)[arccos(1/x)/x^2 ]|(1->+∞) +(1/2)∫(1->+∞) (1/x^2) darccos(1/x)
= 0 +(1/2)∫(1->+∞) (1/x^2) [-1/√(1-1/x^2) ] ( -1/x^2) dx
=(1/2)∫(1->+∞) (1/x^3) . [1/√(x^2-1) ] dx
=(1/2)∫(0->π/2) (cosu)^3 . (1/tanu) [secu .tanu du]
=(1/2)∫(0->π/2) (cosu)^2 du
=(1/4)∫(0->π/2) (1+cos2u) du
=(1/4)[u+(1/2)sin2u]|(0->π/2)
=π/8

Answer 5

解法之一如下图：