Question

在三角形ABC中,最大角A是最小角C的二倍,AB=7,AC=8,求BC

Answer 1

方法一：BC=根号下105
过程：根据三角形正弦定理知sinB/8=sinC/7（式一）
而A=2C所以B=π-A-C=π-3C
所以sinB=sin3C=sin(C+2C)=sinC*cos2C+sin2C*cosC
=sinC*(cos2C+2cosC*cosC)=sinC*(4*cosC*cosC-1)带入式一
得4*cosC*cosC=15/7所以2*cosC=根号下105/7（式二）
根据三角形正弦定理知sinC/7=sinA/BC=sin2C/BC=(2*sinC*cosC)/BC
所以BC=7*2*cosC=根号下105
方法二：做角A的角平分线AD交BC于D点
所以角BAD=1/2*角A=角C
在三角形BAD中角ADB=角A
所以三角形ABD与三角形ABC相似
所以AD/AC=BD/AB=AB/BC
带入AB=7,AC=8得
AD/8=BD/7=7/BC
由核分比性质a/b=c/d=e/f则(a+c)/(b+d)=e/f得
(AD+BD）/15=7/BC因为角DAC=1/2*角A=角C
所以三角形ADC为等腰三角形所以AD=DC
所以AD+BD=CD+BD=BC
所以BC*BC=7*15
所以BC=根号下105